\[ \renewcommand\le\leqslant \renewcommand\ge\geqslant \newcommand\id{\mathrm{id}} \newcommand\adef{\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}} \newcommand\surj\twoheadrightarrow \newcommand\incl\hookrightarrow \newcommand\gen[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand\Set{\mathbf{Set}} \newcommand\Grp{\mathbf{Grp}} \newcommand\Abl{\mathbf{Abl}} \newcommand\op{\mathrm{op}} \newcommand\frk\mathfrak \newcommand\brk[1]{[ #1 ]} \DeclareMathOperator\Ker{Ker} \let\Im\relax \DeclareMathOperator\Im{Im} \DeclareMathOperator\Ab{Ab} \DeclareMathOperator\Coim{Coim} \DeclareMathOperator\Coker{Coker} \DeclareMathOperator\End{End} \DeclareMathOperator\tr{tr} \]
意見や質問，訂正依頼等は
のいずれかまでお願いします．
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去る12月22日（土）に，@kyotomathmath で Advent Calendar に書いたことに関連して話をしました．ここにその概要を議事録的に残しておこうと思います．本当は可換図式も描ければいいのですが，力尽きてしまいした．
☡ Remark は，通称「危険な曲がり角」（dangerous bend）と呼ばれ，比較的発展的な内容であることを指します．
以下では，群と Lie 代数がとても似ていることを確認して，その後量子群や Yang-Baxter 方程式へと踏み込んでいきます．
任意の（空でもよい）集合 \(A\) と一点集合 \(\{ 1 \}\) に関して次のような全単射があることに注意します： \[ \begin{align*} A \times \{ 1 \} \cong A \cong \{ 1 \} \times A. \end{align*} \] ここで，\(\cong\) は全単射があることを意味しています．この対応は \[ \begin{align*} (x, 1) \mapsto x \mapsto (1, x) \end{align*} \] で与えられます．
そこで，上の全単射をすべて同じ記号 \(\iota\) で表すことにします：
恐らくどの \(\iota\) を使っているかは文脈で判断できるでしょう．
圏論では，これらの全単射を（集合の圏における）自然同型（natural isomorphism）と言います．
さらに，任意の集合 \(A\) と \(B\) に関して次の全単射（自然同型）があります： \[ \begin{align*} &\tau \colon A \times B \to B \times A, \\ &\tau (x, y) := (y, x). \end{align*} \] これも，\(A, B\) を明示せず単に \(\tau\) と書きます．
日曜数学 Advent Calendar で触れたように，群（groups）は次のように定義できます：
ここで，\(\Delta \colon G \to G \times G\) と \(\varepsilon \colon G \to \{ 1 \}\) は次で定まる写像です： \[ \begin{align*} \Delta (x) &:= (x, x), \\ \varepsilon (x) &:= 1. \end{align*} \]
そして可換群（commutative groups）とは，群 \(G\) であって，\(\mu = \mu \circ \tau\) であるようなもののことです．
群 \((G, \mu_G, \eta_G, S_G)\) と \((H, \mu_H, \eta_H, S_H)\) の間の写像 \(\varphi \colon G \to H\) が群準同型（group homomorphism）であるとは，次の条件を満たすことをいう：
群 \((G, \mu_G, \eta_G, S_G)\) と \((H, \mu_H, \eta_H, S_H)\) の間の写像 \(\varphi \colon G \to H\) が反群準同型（group anti-homomorphism）であるとは，次の条件を満たすことをいう：
群論でよく知られているように，\(\Delta\) と \(\varepsilon\) は群準同型であり，\(S\) は反群準同型です．
一点集合，直積集合，直積写像はすべて圏論的な概念であり，集合の元の表示を使わずに定義できます．
任意の集合 \(A\) と上のように定まる写像 \(\Delta \colon A \to A \times A\)，\(\varepsilon \colon A \to \{ 1 \}\) に対して，次の式が成り立ちます：
群 \(G\) の表現 \(G \reprho V\) を考えます．\(G\) 上の写像 \(\Delta\) を使えば，表現 \(G \reprhotensor V^{\otimes 2}\) を構成できます．ここで，\({}^{\otimes 2}\) は同じもの2つのテンソル積を表します（e.g. \(V^{\otimes 2} = V \otimes V\)，\(\varphi^{\otimes 2} = \varphi \otimes \varphi\)）．
以上の定義では，「集合」と「写像」しか現れていないことに注意してください．
体 \(k\) を固定します．体に慣れていないなら \(k = \mathbb{R}, \mathbb{C}\) のときを考えればよいです．
今までの話において，次のような置き換えを実行します：
すると Hopf 代数と呼ばれるものが出てきます．
\(V\) を \(k\) 上ベクトル空間としたとき，集合の場合と同様に次の線型同型があります： \[ \begin{align*} V \otimes k \cong V \cong k \otimes V. \end{align*} \] \(\cong\) はやはり線型同型を表す記号で，この線型同型は具体的に \[ \begin{align*} x \otimes 1 \mapsto x \mapsto 1 \otimes x \end{align*} \] で与えられます．これも自然同型となります．これらの線型写像をすべて \(\iota\) と書きます．
そして \(k\) 上ベクトル空間 \(V, W\) に対して， \[ \begin{align*} &\tau \colon V \otimes W \to W \otimes V, \\ &\tau (x \otimes y) := y \otimes x \end{align*} \] という線型同型（自然同型）もあります．
群の場合とのアナロジーをよく意識してください．
\(k\) 上の代数（algebras）とは，次の組のことである：
例えば，\(k\) は \(k\) 上代数です： \[ \begin{align*} \mu (x \otimes y) &:= x y, \\ \eta (\alpha) &:= \alpha. \end{align*} \]
\((A, \mu_A, \eta_A)\) と \((B, \mu_B, \eta_B)\) を \(k\) 上の代数とする．代数の間の線型写像 \(\varphi \colon A \to B\) が代数準同型（algebra homomorphism）であるとは，次の条件を満たすことをいう：
線型写像 \(\varphi \colon A \to B\) が反代数準同型（algebra anti-homomorphism）であるとは，次の条件を満たすことをいう：
\(k\) 上の余代数（coalgebras）とは，次の組のことである：
例えば，\(k\) は \(k\) 上余代数です： \[ \begin{align*} \Delta (x) &:= x \otimes 1 = 1 \otimes x, \\ \varepsilon (x) &:= x. \end{align*} \]
\(k\) 上の双代数（bialgebras）とは，次の組のことである：
ここで，\(B \otimes B\) には自然な代数の構造を入れ，\(k\) には上で述べた代数の構造を入れます．
\(k\) 上の Hopf 代数（Hopf algebras）とは，次の組のことである：
Hopf 代数の \(S\) について，群論と対応した次の命題があります：
\(k\) 上の双代数 \((H, \mu, \eta, \Delta, \varepsilon)\) に対して，\(\mu \circ (S \otimes \id_H) \circ \Delta = \eta \circ \varepsilon = \mu \circ (\id_H \otimes S) \circ \Delta\) を満たすような線型写像 \(S \colon H \to H\) は，存在すれば一意である．
さらに，そのような \(S\) は反代数準同型となる．
まず \(k\) 上 Lie 代数 \(\frk g\) を取り，その普遍包絡環（universal enveloping algebra）\(U (\frk g)\) を考えます．名前から想像できる通り \(U (\frk g)\) は \(k\) 上の代数ですが，実は Hopf 代数にもなります． それを確認するために，\(U (\frk g)\) の表現 \(U (\frk g) \reprho V\) があるときにテンソル積表現 \(U (\frk g) \reprhotensor V^{\otimes 2}\) を構成する方法を思い出しましょう．（知らないのであれば，たとえば Humphreys を読むといいです．）代数準同型 \(\Delta \colon U (\frk g) \to U (\frk g) \otimes U (\frk g)\) を \[ \Delta (X) := X \otimes 1 + 1 \otimes X \quad (X \in \frk g) \] と定義します．すると，\((\varepsilon \otimes \id_C) \circ \Delta = \iota = (\id_C \otimes \varepsilon) \circ \Delta\) であるためには \(\varepsilon (X) := 0\) (\(X \in \frk g\)) と定義しなければならないことが分かります．そして \(\mu \circ (S \otimes \id_H) \circ \Delta = \eta \circ \varepsilon = \mu \circ (\id_H \otimes S) \circ \Delta\) であるためには \(S (X) := - X\) (\(X \in \frk g\)) と定義しなければならないことも分かります．
逆に，このように定めた \((U (\frk g), \mu, \eta, \Delta, \varepsilon, S)\) は Hopf 代数になります．
別の Hopf 代数の例として，群 \(G\) 上の関数環 \[ H = \Func (G) := \{ f \colon G \to k \colon \text{map} \} \] があります．\(G\) の群構造と \(k\) の Hopf 代数の構造を上手く使うことで，次のように構造射を定義します：
これによって，\(H\) は Hopf 代数となります．
この「\(G\) の群構造と \(k\) の Hopf 代数構造から \(H\) の Hopf 代数構造が定まる」ということは，圏論で一般化することができます．
群 \(G\) では当然 \(\Delta = \tau \circ \Delta\) が成り立っていました．普遍包絡環でも \(\Delta = \tau \circ \Delta\) が分かります．
一方で \(\Func (G)\) では，\(G\) が可換（\(\mu = \mu \circ \tau\)）なとき，かつそのときに限り \(\Delta = \tau \circ \Delta\) が成り立ちます．
\(\Delta \neq \tau \circ \Delta\) でも，その特別な場合が Yang-Baxter 方程式を解く鍵となります．
\(H\) を \(k\) 上の Hopf 代数とする．\(H\) が braided であるとは，ある \(R \in H \otimes H\) が存在して，次の条件を満たすことをいう：
ここで，\(R_{12}, R_{13}, R_{23} \in H^{\otimes 3}\) は \[ \begin{align*} R_{12} &:= R \otimes 1, \\ R_{13} &:= (\id_H \otimes \tau) (R \otimes 1), \\ R_{23} &:= 1 \otimes R \end{align*} \] で定義される．
この \(R\) を universal \(R\)-matrix という．
この定義は \(\frk{S}_3\) における Coxeter relations を意識したものになっています： \[ (1 \ 2) (2 \ 3) (1 \ 2) = (2 \ 3) (1 \ 2) (2 \ 3). \]
説明は省略しますが，これと双対な universal \(R\)-forms と呼ばれるものがあり，次の驚くべき主張が成り立ちます（Faddeev-Reshetikhin-Takhtadjian）：
有限次元の Yang-Baxter 方程式の解はすべて universal \(R\)-form から構成することができる．