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去る12月22日（土）に，@kyotomathmath で Advent Calendar に書いたことに関連して話をしました．ここにその概要を議事録的に残しておこうと思います．本当は可換図式も描ければいいのですが，力尽きてしまいした．
☡ Remark は，通称「危険な曲がり角」（dangerous bend）と呼ばれ，比較的発展的な内容であることを指します．
以下では，群と Lie 代数がとても似ていることを確認して，その後量子群や Yang-Baxter 方程式へと踏み込んでいきます．
任意の（空でもよい）集合 A と一点集合 {1} に関して次のような全単射があることに注意します： A×{1}≅A≅{1}×A. ここで，≅ は全単射があることを意味しています．この対応は (x,1)↦x↦(1,x) で与えられます．
そこで，上の全単射をすべて同じ記号 ι で表すことにします：
恐らくどの ι を使っているかは文脈で判断できるでしょう．
圏論では，これらの全単射を（集合の圏における）自然同型（natural isomorphism）と言います．
さらに，任意の集合 A と B に関して次の全単射（自然同型）があります： τ:A×B→B×A,τ(x,y):=(y,x). これも，A,B を明示せず単に τ と書きます．
日曜数学 Advent Calendar で触れたように，群（groups）は次のように定義できます：
ここで，Δ:G→G×G と ε:G→{1} は次で定まる写像です： Δ(x):=(x,x),ε(x):=1.
そして可換群（commutative groups）とは，群 G であって，μ=μ∘τ であるようなもののことです．
群 (G,μG,ηG,SG) と (H,μH,ηH,SH) の間の写像 φ:G→H が群準同型（group homomorphism）であるとは，次の条件を満たすことをいう：
群 (G,μG,ηG,SG) と (H,μH,ηH,SH) の間の写像 φ:G→H が反群準同型（group anti-homomorphism）であるとは，次の条件を満たすことをいう：
群論でよく知られているように，Δ と ε は群準同型であり，S は反群準同型です．
一点集合，直積集合，直積写像はすべて圏論的な概念であり，集合の元の表示を使わずに定義できます．
任意の集合 A と上のように定まる写像 Δ:A→A×A，ε:A→{1} に対して，次の式が成り立ちます：
群 G の表現 Gρ↷V を考えます．G 上の写像 Δ を使えば，表現 Gρ⊗2Δ↷V⊗2 を構成できます．ここで，⊗2 は同じもの2つのテンソル積を表します（e.g. V⊗2=V⊗V，φ⊗2=φ⊗φ）．
以上の定義では，「集合」と「写像」しか現れていないことに注意してください．
体 k を固定します．体に慣れていないなら k=R,C のときを考えればよいです．
今までの話において，次のような置き換えを実行します：
すると Hopf 代数と呼ばれるものが出てきます．
V を k 上ベクトル空間としたとき，集合の場合と同様に次の線型同型があります： V⊗k≅V≅k⊗V. ≅ はやはり線型同型を表す記号で，この線型同型は具体的に x⊗1↦x↦1⊗x で与えられます．これも自然同型となります．これらの線型写像をすべて ι と書きます．
そして k 上ベクトル空間 V,W に対して， τ:V⊗W→W⊗V,τ(x⊗y):=y⊗x という線型同型（自然同型）もあります．
群の場合とのアナロジーをよく意識してください．
k 上の代数（algebras）とは，次の組のことである：
例えば，k は k 上代数です： μ(x⊗y):=xy,η(α):=α.
(A,μA,ηA) と (B,μB,ηB) を k 上の代数とする．代数の間の線型写像 φ:A→B が代数準同型（algebra homomorphism）であるとは，次の条件を満たすことをいう：
線型写像 φ:A→B が反代数準同型（algebra anti-homomorphism）であるとは，次の条件を満たすことをいう：
k 上の余代数（coalgebras）とは，次の組のことである：
例えば，k は k 上余代数です： Δ(x):=x⊗1=1⊗x,ε(x):=x.
k 上の双代数（bialgebras）とは，次の組のことである：
ここで，B⊗B には自然な代数の構造を入れ，k には上で述べた代数の構造を入れます．
k 上の Hopf 代数（Hopf algebras）とは，次の組のことである：
Hopf 代数の S について，群論と対応した次の命題があります：
k 上の双代数 (H,μ,η,Δ,ε) に対して，μ∘(S⊗idH)∘Δ=η∘ε=μ∘(idH⊗S)∘Δ を満たすような線型写像 S:H→H は，存在すれば一意である．
さらに，そのような S は反代数準同型となる．
まず k 上 Lie 代数 g を取り，その普遍包絡環（universal enveloping algebra）U(g) を考えます．名前から想像できる通り U(g) は k 上の代数ですが，実は Hopf 代数にもなります． それを確認するために，U(g) の表現 U(g)ρ↷V があるときにテンソル積表現 U(g)ρ⊗2Δ↷V⊗2 を構成する方法を思い出しましょう．（知らないのであれば，たとえば Humphreys を読むといいです．）代数準同型 Δ:U(g)→U(g)⊗U(g) を Δ(X):=X⊗1+1⊗X(X∈g) と定義します．すると，(ε⊗idC)∘Δ=ι=(idC⊗ε)∘Δ であるためには ε(X):=0 (X∈g) と定義しなければならないことが分かります．そして μ∘(S⊗idH)∘Δ=η∘ε=μ∘(idH⊗S)∘Δ であるためには S(X):=−X (X∈g) と定義しなければならないことも分かります．
逆に，このように定めた (U(g),μ,η,Δ,ε,S) は Hopf 代数になります．
別の Hopf 代数の例として，群 G 上の関数環 H=Func(G):={f:G→k:map} があります．G の群構造と k の Hopf 代数の構造を上手く使うことで，次のように構造射を定義します：
これによって，H は Hopf 代数となります．
この「G の群構造と k の Hopf 代数構造から H の Hopf 代数構造が定まる」ということは，圏論で一般化することができます．
群 G では当然 Δ=τ∘Δ が成り立っていました．普遍包絡環でも Δ=τ∘Δ が分かります．
一方で Func(G) では，G が可換（μ=μ∘τ）なとき，かつそのときに限り Δ=τ∘Δ が成り立ちます．
Δ≠τ∘Δ でも，その特別な場合が Yang-Baxter 方程式を解く鍵となります．
H を k 上の Hopf 代数とする．H が braided であるとは，ある R∈H⊗H が存在して，次の条件を満たすことをいう：
ここで，R12,R13,R23∈H⊗3 は R12:=R⊗1,R13:=(idH⊗τ)(R⊗1),R23:=1⊗R で定義される．
この R を universal R-matrix という．
この定義は S3 における Coxeter relations を意識したものになっています： (1 2)(2 3)(1 2)=(2 3)(1 2)(2 3).
説明は省略しますが，これと双対な universal R-forms と呼ばれるものがあり，次の驚くべき主張が成り立ちます（Faddeev-Reshetikhin-Takhtadjian）：
有限次元の Yang-Baxter 方程式の解はすべて universal R-form から構成することができる．