\renewcommand\le\leqslant \renewcommand\ge\geqslant \newcommand\id{\mathrm{id}} \newcommand\adef{\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}} \newcommand\surj\twoheadrightarrow \newcommand\incl\hookrightarrow \newcommand\gen[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand\Set{\mathbf{Set}} \newcommand\Grp{\mathbf{Grp}} \newcommand\Abl{\mathbf{Abl}} \newcommand\op{\mathrm{op}} \newcommand\frk\mathfrak \newcommand\brk[1]{[ #1 ]} \DeclareMathOperator\Ker{Ker} \let\Im\relax \DeclareMathOperator\Im{Im} \DeclareMathOperator\Ab{Ab} \DeclareMathOperator\Coim{Coim} \DeclareMathOperator\Coker{Coker} \DeclareMathOperator\End{End} \DeclareMathOperator\tr{tr}
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去る12月22日（土）に，@kyotomathmath で Advent Calendar に書いたことに関連して話をしました．ここにその概要を議事録的に残しておこうと思います．本当は可換図式も描ければいいのですが，力尽きてしまいした．
☡ Remark は，通称「危険な曲がり角」（dangerous bend）と呼ばれ，比較的発展的な内容であることを指します．
以下では，群と Lie 代数がとても似ていることを確認して，その後量子群や Yang-Baxter 方程式へと踏み込んでいきます．
任意の（空でもよい）集合 A と一点集合 \{ 1 \} に関して次のような全単射があることに注意します： \begin{align*} A \times \{ 1 \} \cong A \cong \{ 1 \} \times A. \end{align*} ここで，\cong は全単射があることを意味しています．この対応は \begin{align*} (x, 1) \mapsto x \mapsto (1, x) \end{align*} で与えられます．
そこで，上の全単射をすべて同じ記号 \iota で表すことにします：
恐らくどの \iota を使っているかは文脈で判断できるでしょう．
圏論では，これらの全単射を（集合の圏における）自然同型（natural isomorphism）と言います．
さらに，任意の集合 A と B に関して次の全単射（自然同型）があります： \begin{align*} &\tau \colon A \times B \to B \times A, \\ &\tau (x, y) := (y, x). \end{align*} これも，A, B を明示せず単に \tau と書きます．
日曜数学 Advent Calendar で触れたように，群（groups）は次のように定義できます：
ここで，\Delta \colon G \to G \times G と \varepsilon \colon G \to \{ 1 \} は次で定まる写像です： \begin{align*} \Delta (x) &:= (x, x), \\ \varepsilon (x) &:= 1. \end{align*}
そして可換群（commutative groups）とは，群 G であって，\mu = \mu \circ \tau であるようなもののことです．
群 (G, \mu_G, \eta_G, S_G) と (H, \mu_H, \eta_H, S_H) の間の写像 \varphi \colon G \to H が群準同型（group homomorphism）であるとは，次の条件を満たすことをいう：
群 (G, \mu_G, \eta_G, S_G) と (H, \mu_H, \eta_H, S_H) の間の写像 \varphi \colon G \to H が反群準同型（group anti-homomorphism）であるとは，次の条件を満たすことをいう：
群論でよく知られているように，\Delta と \varepsilon は群準同型であり，S は反群準同型です．
一点集合，直積集合，直積写像はすべて圏論的な概念であり，集合の元の表示を使わずに定義できます．
任意の集合 A と上のように定まる写像 \Delta \colon A \to A \times A，\varepsilon \colon A \to \{ 1 \} に対して，次の式が成り立ちます：
群 G の表現 G \reprho V を考えます．G 上の写像 \Delta を使えば，表現 G \reprhotensor V^{\otimes 2} を構成できます．ここで，{}^{\otimes 2} は同じもの2つのテンソル積を表します（e.g. V^{\otimes 2} = V \otimes V，\varphi^{\otimes 2} = \varphi \otimes \varphi）．
以上の定義では，「集合」と「写像」しか現れていないことに注意してください．
体 k を固定します．体に慣れていないなら k = \mathbb{R}, \mathbb{C} のときを考えればよいです．
今までの話において，次のような置き換えを実行します：
すると Hopf 代数と呼ばれるものが出てきます．
V を k 上ベクトル空間としたとき，集合の場合と同様に次の線型同型があります： \begin{align*} V \otimes k \cong V \cong k \otimes V. \end{align*} \cong はやはり線型同型を表す記号で，この線型同型は具体的に \begin{align*} x \otimes 1 \mapsto x \mapsto 1 \otimes x \end{align*} で与えられます．これも自然同型となります．これらの線型写像をすべて \iota と書きます．
そして k 上ベクトル空間 V, W に対して， \begin{align*} &\tau \colon V \otimes W \to W \otimes V, \\ &\tau (x \otimes y) := y \otimes x \end{align*} という線型同型（自然同型）もあります．
群の場合とのアナロジーをよく意識してください．
k 上の代数（algebras）とは，次の組のことである：
例えば，k は k 上代数です： \begin{align*} \mu (x \otimes y) &:= x y, \\ \eta (\alpha) &:= \alpha. \end{align*}
(A, \mu_A, \eta_A) と (B, \mu_B, \eta_B) を k 上の代数とする．代数の間の線型写像 \varphi \colon A \to B が代数準同型（algebra homomorphism）であるとは，次の条件を満たすことをいう：
線型写像 \varphi \colon A \to B が反代数準同型（algebra anti-homomorphism）であるとは，次の条件を満たすことをいう：
k 上の余代数（coalgebras）とは，次の組のことである：
例えば，k は k 上余代数です： \begin{align*} \Delta (x) &:= x \otimes 1 = 1 \otimes x, \\ \varepsilon (x) &:= x. \end{align*}
k 上の双代数（bialgebras）とは，次の組のことである：
ここで，B \otimes B には自然な代数の構造を入れ，k には上で述べた代数の構造を入れます．
k 上の Hopf 代数（Hopf algebras）とは，次の組のことである：
Hopf 代数の S について，群論と対応した次の命題があります：
k 上の双代数 (H, \mu, \eta, \Delta, \varepsilon) に対して，\mu \circ (S \otimes \id_H) \circ \Delta = \eta \circ \varepsilon = \mu \circ (\id_H \otimes S) \circ \Delta を満たすような線型写像 S \colon H \to H は，存在すれば一意である．
さらに，そのような S は反代数準同型となる．
まず k 上 Lie 代数 \frk g を取り，その普遍包絡環（universal enveloping algebra）U (\frk g) を考えます．名前から想像できる通り U (\frk g) は k 上の代数ですが，実は Hopf 代数にもなります． それを確認するために，U (\frk g) の表現 U (\frk g) \reprho V があるときにテンソル積表現 U (\frk g) \reprhotensor V^{\otimes 2} を構成する方法を思い出しましょう．（知らないのであれば，たとえば Humphreys を読むといいです．）代数準同型 \Delta \colon U (\frk g) \to U (\frk g) \otimes U (\frk g) を \Delta (X) := X \otimes 1 + 1 \otimes X \quad (X \in \frk g) と定義します．すると，(\varepsilon \otimes \id_C) \circ \Delta = \iota = (\id_C \otimes \varepsilon) \circ \Delta であるためには \varepsilon (X) := 0 (X \in \frk g) と定義しなければならないことが分かります．そして \mu \circ (S \otimes \id_H) \circ \Delta = \eta \circ \varepsilon = \mu \circ (\id_H \otimes S) \circ \Delta であるためには S (X) := - X (X \in \frk g) と定義しなければならないことも分かります．
逆に，このように定めた (U (\frk g), \mu, \eta, \Delta, \varepsilon, S) は Hopf 代数になります．
別の Hopf 代数の例として，群 G 上の関数環 H = \Func (G) := \{ f \colon G \to k \colon \text{map} \} があります．G の群構造と k の Hopf 代数の構造を上手く使うことで，次のように構造射を定義します：
これによって，H は Hopf 代数となります．
この「G の群構造と k の Hopf 代数構造から H の Hopf 代数構造が定まる」ということは，圏論で一般化することができます．
群 G では当然 \Delta = \tau \circ \Delta が成り立っていました．普遍包絡環でも \Delta = \tau \circ \Delta が分かります．
一方で \Func (G) では，G が可換（\mu = \mu \circ \tau）なとき，かつそのときに限り \Delta = \tau \circ \Delta が成り立ちます．
\Delta \neq \tau \circ \Delta でも，その特別な場合が Yang-Baxter 方程式を解く鍵となります．
H を k 上の Hopf 代数とする．H が braided であるとは，ある R \in H \otimes H が存在して，次の条件を満たすことをいう：
ここで，R_{12}, R_{13}, R_{23} \in H^{\otimes 3} は \begin{align*} R_{12} &:= R \otimes 1, \\ R_{13} &:= (\id_H \otimes \tau) (R \otimes 1), \\ R_{23} &:= 1 \otimes R \end{align*} で定義される．
この R を universal R-matrix という．
この定義は \frk{S}_3 における Coxeter relations を意識したものになっています： (1 \ 2) (2 \ 3) (1 \ 2) = (2 \ 3) (1 \ 2) (2 \ 3).
説明は省略しますが，これと双対な universal R-forms と呼ばれるものがあり，次の驚くべき主張が成り立ちます（Faddeev-Reshetikhin-Takhtadjian）：
有限次元の Yang-Baxter 方程式の解はすべて universal R-form から構成することができる．