\[ \newcommand\le\leqslant \newcommand\ge\geqslant \newcommand\C{\mathbb{C}} \newcommand\Z{\mathbb{Z}} \newcommand\adef{\stackrel{\text{def}}{\Longleftrightarrow}} \newcommand\defeq{\mathrel{:=}} \newcommand\defqe{\mathrel{=:}} \newcommand\d{\mathrm{d}} \newcommand\surj\twoheadrightarrow \newcommand\incl\hookrightarrow \newcommand\unif{\stackrel{\text{unif}}{\longrightarrow}} \newcommand\cpt{\stackrel{\text{cpt}}{\longrightarrow}} \newcommand\openset{\stackrel{\text{open}}{\subset}} \newcommand\cptset{\stackrel{\text{cpt}}{\subset}} \newcommand\bar\overline \]

Appendix V

§V.1-2

Definition 1.1

\(\C\) 上の級数 \(\sum a_n\) が

  • absolutely convergent \(\adef\) \(\sum |a_n|\) が convergent;
  • otherwise conditionally convergent.

Definition 1.2

\(\emptyset \neq A \subset \C\).

\(A\) 上の関数列 \(\{ f_n \colon A \to \C \}\) が

  • uniformly convergent to a function \(f \colon A \to \C\) (written \(f_n \unif f\)) \(\adef\) \(\lim \| f_n - f \|_\infty = 0\);
  • compactly convergent to a function \(f \colon A \to \C\) (written \(f_n \cpt f\)) \(\adef\) 任意の \(K \cptset A\) に対して \(f_n |_K \unif f |_K\).

ただし \[ \| f \|_\infty \defeq \sup_{z \in A} | f (z) |. \]

Theorem 1.1

\(\emptyset \neq A \subset \C\), \(\{ f_n \colon A \to \C \}\): continuous, \(f \colon A \to \C\).

  1. \(f_n \unif f\) \(\Longrightarrow\) \(f\) は continuous;
  2. A regular curve \(\gamma \colon [0, 1] \surj A\) が存在して \(f_n \unif f\) \(\Longrightarrow\) \[ \lim \int_\gamma f_n (z) \, \d z = \int_\gamma f (z) \, \d z. \]

(1)

\(z_0 \in A\) を一つ fix し，\(\varepsilon > 0\) を任意に取る．

\(f_n \unif f\) より，ある番号 \(N \in \Z_{\ge 0}\) が存在し，すべての \(n \in \Z_{\ge N}\) に対して \(\| f_n - f \|_\infty < \varepsilon / 3\) とできる．このとき，\(\forall n \ge N\), \(\forall z \in A\), \[ | f_n (z) - f (z) | < \varepsilon / 3. \] 以下 \(n \in \Z_{\ge N}\) を fix する．

\(f_n\) は continuous at \(z_0\) (for any \(n\)) より，ある \(\delta > 0\) が存在して \[ | z - z_0 | < \delta \Longrightarrow | f_n (z) - f_n (z_0) | < \varepsilon / 3. \]

よって，任意の \(z \in A\) with \(| z - z_0 | < \delta\) に対して， \[ \begin{align*} | f (z) - f (z_0) | &\le \quad | f (z) - f_n (z) | \\ &\quad+ | f_n (z) - f_n (z_0) | \\ &\quad+ | f_n (z_0) - f (z_0) | \\ &< \varepsilon; \end{align*} \] hence \(f\) は continuous at \(z_0\).

(2)

\[ \begin{align*} L &\defeq \int_\gamma |\d z|, \\ I_n &\defeq \int_\gamma f_n (z) \, \d z, \\ I &\defeq \int_\gamma f (z) \, \d z \end{align*} \] とおく．\(\varepsilon > 0\) を任意に取る．

\(f_n \unif f\) より，ある番号 \(N \in \Z_{\ge 0}\) が存在し，すべての \(n \in \Z_{\ge N}\) と \(z \in A = \gamma ([0, 1])\) に対して \[ | f_n (z) - f (z) | < \frac{\varepsilon}{L} \] とできる．

このとき， \[ \begin{align*} |I_n - I| &\le \int_\gamma | f_n (z) - f (z) | \, |\d z| \\ &< \frac{\varepsilon}{L} \int_\gamma |\d z| \\ &= \varepsilon; \end{align*} \] hence \(I_n \to I\) as \(n \to \infty\).

Corollary 1.2

\(D \subset \C\) be a domain (i.e., non-empty, connected & open), \(\{ f_n \colon D \to \C \}\): continuous, \(f \colon D \to \C\).

  • \(f_n \cpt f\) \(\Longrightarrow\) \(f\) は continuous.

近傍族 \(\{ z \in \Delta_z \subset D \mid z \in D \}\) を取る．

下の Lemma 1.3 より，\(f_n |_{\Delta_z} \unif f |_{\Delta_z}\) for each \(z \in D\) となる．すると，上の Theorem 1.1 より \(f |_{\Delta_z} \colon \Delta_z \to \C\) は continuous．

従って，下の Lemma 1.4 より，\(f \colon D = \bigcup \Delta_z \to \C\) も continuous．

Lemma 1.3

\(D \subset \C\) be a domain, \(\{ f_n \colon D \to \C \}\): continuous, \(f \colon D \to \C\).

TFAE:

  1. \(f_n \cpt f\);
  2. For each \(z \in A\) and its neighborhood \(z \in \Delta_z \subset D\), \(f_n |_{\Delta_z} \unif f |_{\Delta_z}\).

(1) \(\Longrightarrow\) (2)

\(\bar{\Delta_z} \subset D\) は compact だから，\(f_n \cpt f\) の定義より，\(f_n |_{\Delta_z} \unif f |_{\Delta_z}\)．

(2) \(\Longrightarrow\) (1)

\(K \cptset D\) を任意に取り，its finite open covering \(K \subset \bigcup_{i = 0}^N \Delta_i \defqe \Delta \subset D\) (\(\Delta_i\) are open disks) を選ぶ．\(f_n |_{\Delta_i} \unif f |_{\Delta_i}\) (\(0 \le {}^{\forall} i \le N\)) より，\(f_n |_\Delta \unif f |_\Delta\)．

特に \(f_n |_K \unif f |_K\) であるから，\(f_n \cpt f\)．

Lemma 1.4

\(X, Y\) be topological spaces, \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\) an open covering, \(f \colon X \to Y\).

TFAE:

  1. \(f\) は continuous;
  2. \(f |_{U_i}\) は continuous for each \(i \in I\).

(1) \(\Longrightarrow\) (2)

\(f |_{U_i} \colon U_i \incl X \xrightarrow{f} Y\) より，明らか．

(2) \(\Longrightarrow\) (1)

任意の \(U \openset Y\) に対して，\(f^{-1} (U) \cap U_i = (f |_{U_i})^{-1} (U) \openset U_i\) となる．一方 \(U_i \openset X\) であるから，\(f^{-1} (U) \cap U_i \openset X\)．よって，\(f^{-1} (U) = \bigcup_{i \in I} (f^{-1} (U) \cap U_i)\) も open．