\newcommand\le\leqslant \newcommand\ge\geqslant \newcommand\C{\mathbb{C}} \newcommand\Z{\mathbb{Z}} \newcommand\adef{\stackrel{\text{def}}{\Longleftrightarrow}} \newcommand\defeq{\mathrel{:=}} \newcommand\defqe{\mathrel{=:}} \newcommand\d{\mathrm{d}} \newcommand\surj\twoheadrightarrow \newcommand\incl\hookrightarrow \newcommand\unif{\stackrel{\text{unif}}{\longrightarrow}} \newcommand\cpt{\stackrel{\text{cpt}}{\longrightarrow}} \newcommand\openset{\stackrel{\text{open}}{\subset}} \newcommand\cptset{\stackrel{\text{cpt}}{\subset}} \newcommand\bar\overline
Appendix V
§V.1-2
Definition 1.1
\C 上の級数 \sum a_n が
- absolutely convergent \adef \sum |a_n| が convergent;
- otherwise conditionally convergent.
Definition 1.2
\emptyset \neq A \subset \C.
A 上の関数列 \{ f_n \colon A \to \C \} が
- uniformly convergent to a function f \colon A \to \C (written f_n \unif f) \adef \lim \| f_n - f \|_\infty = 0;
- compactly convergent to a function f \colon A \to \C (written f_n \cpt f) \adef 任意の K \cptset A に対して f_n |_K \unif f |_K.
ただし \| f \|_\infty \defeq \sup_{z \in A} | f (z) |.
Theorem 1.1
\emptyset \neq A \subset \C, \{ f_n \colon A \to \C \}: continuous, f \colon A \to \C.
- f_n \unif f \Longrightarrow f は continuous;
- A regular curve \gamma \colon [0, 1] \surj A が存在して f_n \unif f \Longrightarrow \lim \int_\gamma f_n (z) \, \d z = \int_\gamma f (z) \, \d z.
(1)
z_0 \in A を一つ fix し，\varepsilon > 0 を任意に取る．
f_n \unif f より，ある番号 N \in \Z_{\ge 0} が存在し，すべての n \in \Z_{\ge N} に対して \| f_n - f \|_\infty < \varepsilon / 3 とできる．このとき，\forall n \ge N, \forall z \in A, | f_n (z) - f (z) | < \varepsilon / 3. 以下 n \in \Z_{\ge N} を fix する．
f_n は continuous at z_0 (for any n) より，ある \delta > 0 が存在して | z - z_0 | < \delta \Longrightarrow | f_n (z) - f_n (z_0) | < \varepsilon / 3.
よって，任意の z \in A with | z - z_0 | < \delta に対して， \begin{align*} | f (z) - f (z_0) | &\le \quad | f (z) - f_n (z) | \\ &\quad+ | f_n (z) - f_n (z_0) | \\ &\quad+ | f_n (z_0) - f (z_0) | \\ &< \varepsilon; \end{align*} hence f は continuous at z_0.(2)
\begin{align*} L &\defeq \int_\gamma |\d z|, \\ I_n &\defeq \int_\gamma f_n (z) \, \d z, \\ I &\defeq \int_\gamma f (z) \, \d z \end{align*} とおく．\varepsilon > 0 を任意に取る．
f_n \unif f より，ある番号 N \in \Z_{\ge 0} が存在し，すべての n \in \Z_{\ge N} と z \in A = \gamma ([0, 1]) に対して | f_n (z) - f (z) | < \frac{\varepsilon}{L} とできる．
このとき， \begin{align*} |I_n - I| &\le \int_\gamma | f_n (z) - f (z) | \, |\d z| \\ &< \frac{\varepsilon}{L} \int_\gamma |\d z| \\ &= \varepsilon; \end{align*} hence I_n \to I as n \to \infty.Corollary 1.2
D \subset \C be a domain (i.e., non-empty, connected & open), \{ f_n \colon D \to \C \}: continuous, f \colon D \to \C.
- f_n \cpt f \Longrightarrow f は continuous.
近傍族 \{ z \in \Delta_z \subset D \mid z \in D \} を取る．
下の Lemma 1.3 より，f_n |_{\Delta_z} \unif f |_{\Delta_z} for each z \in D となる．すると，上の Theorem 1.1 より f |_{\Delta_z} \colon \Delta_z \to \C は continuous．
従って，下の Lemma 1.4 より，f \colon D = \bigcup \Delta_z \to \C も continuous．
Lemma 1.3
D \subset \C be a domain, \{ f_n \colon D \to \C \}: continuous, f \colon D \to \C.
TFAE:
- f_n \cpt f;
- For each z \in A and its neighborhood z \in \Delta_z \subset D, f_n |_{\Delta_z} \unif f |_{\Delta_z}.
(1) \Longrightarrow (2)
\bar{\Delta_z} \subset D は compact だから，f_n \cpt f の定義より，f_n |_{\Delta_z} \unif f |_{\Delta_z}．
(2) \Longrightarrow (1)
K \cptset D を任意に取り，its finite open covering K \subset \bigcup_{i = 0}^N \Delta_i \defqe \Delta \subset D (\Delta_i are open disks) を選ぶ．f_n |_{\Delta_i} \unif f |_{\Delta_i} (0 \le {}^{\forall} i \le N) より，f_n |_\Delta \unif f |_\Delta．
特に f_n |_K \unif f |_K であるから，f_n \cpt f．
Lemma 1.4
X, Y be topological spaces, X = \bigcup_{i \in I} U_i an open covering, f \colon X \to Y.
TFAE:
- f は continuous;
- f |_{U_i} は continuous for each i \in I.
(1) \Longrightarrow (2)
f |_{U_i} \colon U_i \incl X \xrightarrow{f} Y より，明らか．
(2) \Longrightarrow (1)
任意の U \openset Y に対して，f^{-1} (U) \cap U_i = (f |_{U_i})^{-1} (U) \openset U_i となる．一方 U_i \openset X であるから，f^{-1} (U) \cap U_i \openset X．よって，f^{-1} (U) = \bigcup_{i \in I} (f^{-1} (U) \cap U_i) も open．