Appendix V

§V.1-2

Definition 1.1

$C$ 上の級数 $\sum a_{n}$ が

absolutely convergent $\overset{def}{⟺}$ $\sum | a_{n} |$ が convergent;
otherwise conditionally convergent.

Definition 1.2

$\emptyset \neq A \subset C$ .

$A$ 上の関数列 ${f_{n} : A \to C}$ が

uniformly convergent to a function $f : A \to C$ (written $f_{n} \overset{unif}{⟶} f$ ) $\overset{def}{⟺}$ $lim ‖ f_{n} - f ‖_{\infty} = 0$ ;
compactly convergent to a function $f : A \to C$ (written $f_{n} \overset{cpt}{⟶} f$ ) $\overset{def}{⟺}$ 任意の $K \overset{cpt}{\subset} A$ に対して $f_{n} |_{K} \overset{unif}{⟶} f |_{K}$ .

ただし $‖ f ‖_{\infty} := sup_{z \in A} | f (z) | .$

Theorem 1.1

Statement
Proof

$\emptyset \neq A \subset C$ , ${f_{n} : A \to C}$ : continuous, $f : A \to C$ .

$f_{n} \overset{unif}{⟶} f$ $⟹$ $f$ は continuous;
A regular curve $γ : [0, 1] ↠ A$ が存在して $f_{n} \overset{unif}{⟶} f$ $⟹$ $lim \int_{γ} f_{n} (z) d z = \int_{γ} f (z) d z .$

(1)

$z_{0} \in A$ を一つ fix し， $ε > 0$ を任意に取る．

$f_{n} \overset{unif}{⟶} f$ より，ある番号 $N \in Z_{⩾ 0}$ が存在し，すべての $n \in Z_{⩾ N}$ に対して $‖ f_{n} - f ‖_{\infty} < ε / 3$ とできる．このとき， $\forall n ⩾ N$ , $\forall z \in A$ , $| f_{n} (z) - f (z) | < ε / 3.$ 以下 $n \in Z_{⩾ N}$ を fix する．

$f_{n}$ は continuous at $z_{0}$ (for any $n$ ) より，ある $δ > 0$ が存在して $| z - z_{0} | < δ ⟹ | f_{n} (z) - f_{n} (z_{0}) | < ε / 3.$

よって，任意の

z \in A

with

| z - z_{0} | < δ

に対して，

\begin{aligned} | f (z) - f (z_{0}) | & ⩽ | f (z) - f_{n} (z) | \\ + | f_{n} (z) - f_{n} (z_{0}) | \\ + | f_{n} (z_{0}) - f (z_{0}) | \\ < ε; \end{aligned}

hence

f

は continuous at

z_{0}

(2)

$\begin{aligned} L & := \int_{γ} | d z |, \\ I_{n} & := \int_{γ} f_{n} (z) d z, \\ I & := \int_{γ} f (z) d z \end{aligned}$ とおく． $ε > 0$ を任意に取る．

$f_{n} \overset{unif}{⟶} f$ より，ある番号 $N \in Z_{⩾ 0}$ が存在し，すべての $n \in Z_{⩾ N}$ と $z \in A = γ ([0, 1])$ に対して $| f_{n} (z) - f (z) | < \frac{ε}{L}$ とできる．

このとき，

\begin{aligned} | I_{n} - I | & ⩽ \int_{γ} | f_{n} (z) - f (z) | | d z | \\ < \frac{ε}{L} \int_{γ} | d z | \\ = ε; \end{aligned}

hence

I_{n} \to I

n \to \infty

Corollary 1.2

Statement
Proof

$D \subset C$ be a domain (i.e., non-empty, connected & open), ${f_{n} : D \to C}$ : continuous, $f : D \to C$ .

$f_{n} \overset{cpt}{⟶} f$ $⟹$ $f$ は continuous.

近傍族 ${z \in Δ_{z} \subset D ∣ z \in D}$ を取る．

下の Lemma 1.3 より， $f_{n} |_{Δ_{z}} \overset{unif}{⟶} f |_{Δ_{z}}$ for each $z \in D$ となる．すると，上の Theorem 1.1 より $f |_{Δ_{z}} : Δ_{z} \to C$ は continuous．

従って，下の Lemma 1.4 より， $f : D = ⋃ Δ_{z} \to C$ も continuous．

Lemma 1.3

Statement
Proof

$D \subset C$ be a domain, ${f_{n} : D \to C}$ : continuous, $f : D \to C$ .

TFAE:

$f_{n} \overset{cpt}{⟶} f$ ;
For each $z \in A$ and its neighborhood $z \in Δ_{z} \subset D$ , $f_{n} |_{Δ_{z}} \overset{unif}{⟶} f |_{Δ_{z}}$ .

(1) $⟹$ (2)

$\bar{Δ_{z}} \subset D$ は compact だから， $f_{n} \overset{cpt}{⟶} f$ の定義より， $f_{n} |_{Δ_{z}} \overset{unif}{⟶} f |_{Δ_{z}}$ ．

(2) $⟹$ (1)

$K \overset{cpt}{\subset} D$ を任意に取り，its finite open covering $K \subset ⋃_{i = 0}^{N} Δ_{i} =: Δ \subset D$ ( $Δ_{i}$ are open disks) を選ぶ． $f_{n} |_{Δ_{i}} \overset{unif}{⟶} f |_{Δ_{i}}$ ( $0 ⩽^{\forall} i ⩽ N$ ) より， $f_{n} |_{Δ} \overset{unif}{⟶} f |_{Δ}$ ．

特に $f_{n} |_{K} \overset{unif}{⟶} f |_{K}$ であるから， $f_{n} \overset{cpt}{⟶} f$ ．

Lemma 1.4

Statement
Proof

$X, Y$ be topological spaces, $X = ⋃_{i \in I} U_{i}$ an open covering, $f : X \to Y$ .

TFAE:

$f$ は continuous;
$f |_{U_{i}}$ は continuous for each $i \in I$ .

(1) $⟹$ (2)

$f |_{U_{i}} : U_{i} ↪ X \overset{f}{\to} Y$ より，明らか．

(2) $⟹$ (1)

任意の $U \overset{open}{\subset} Y$ に対して， $f^{- 1} (U) \cap U_{i} = (f |_{U_{i}})^{- 1} (U) \overset{open}{\subset} U_{i}$ となる．一方 $U_{i} \overset{open}{\subset} X$ であるから， $f^{- 1} (U) \cap U_{i} \overset{open}{\subset} X$ ．よって， $f^{- 1} (U) = ⋃_{i \in I} (f^{- 1} (U) \cap U_{i})$ も open．

Appendix V

§V.1-2

(1)

(2)

(1) ⟹⟹ (2)

(2) ⟹⟹ (1)

(1) ⟹⟹ (2)

(2) ⟹⟹ (1)

(1) $⟹$ (2)

(2) $⟹$ (1)

(1) $⟹$ (2)

(2) $⟹$ (1)