Appendix V

(1)

$z_0 \in A$ を一つ fix し，$\varepsilon > 0$ を任意に取る．

$f_n \unif f$ より，ある番号 $N \in \Z_{\ge 0}$ が存在し，すべての $n \in \Z_{\ge N}$ に対して $\| f_n - f \|_\infty < \varepsilon / 3$ とできる．このとき，$\forall n \ge N$, $\forall z \in A$, $$| f_n (z) - f (z) | < \varepsilon / 3.$$ 以下 $n \in \Z_{\ge N}$ を fix する．

$f_n$ は continuous at $z_0$ (for any $n$) より，ある $\delta > 0$ が存在して $$| z - z_0 | < \delta \Longrightarrow | f_n (z) - f_n (z_0) | < \varepsilon / 3.$$

よって，任意の $z \in A$ with $| z - z_0 | < \delta$ に対して， $$\begin{align*} | f (z) - f (z_0) | &\le \quad | f (z) - f_n (z) | \\ &\quad+ | f_n (z) - f_n (z_0) | \\ &\quad+ | f_n (z_0) - f (z_0) | \\ &< \varepsilon; \end{align*}$$ hence $f$ は continuous at $z_0$.

(2)

$$\begin{align*} L &\defeq \int_\gamma |\d z|, \\ I_n &\defeq \int_\gamma f_n (z) \, \d z, \\ I &\defeq \int_\gamma f (z) \, \d z \end{align*}$$ とおく．$\varepsilon > 0$ を任意に取る．

$f_n \unif f$ より，ある番号 $N \in \Z_{\ge 0}$ が存在し，すべての $n \in \Z_{\ge N}$ と $z \in A = \gamma ([0, 1])$ に対して $$| f_n (z) - f (z) | < \frac{\varepsilon}{L}$$ とできる．

このとき， $$\begin{align*} |I_n - I| &\le \int_\gamma | f_n (z) - f (z) | \, |\d z| \\ &< \frac{\varepsilon}{L} \int_\gamma |\d z| \\ &= \varepsilon; \end{align*}$$ hence $I_n \to I$ as $n \to \infty$.