Appendix V

(1) $\Longrightarrow$ (2)

任意に $\varepsilon > 0$ を取る．$f_n \unif f$ とすれば，ある番号 $N \in \Z_{\ge 0}$ が存在して，任意の $n \in \Z_{\ge N}$ に対して $$\| f_n - f \|_\infty < \frac{\varepsilon}{2}$$ とできる．

このとき，for any $p, q \in \Z_{\ge N}$, $$\begin{align*} \| f_p - f_q \|_\infty &\le \| f_p - f \|_\infty + \| f - f_q \|_\infty \\ &< \varepsilon. \end{align*}$$

(2) $\Longrightarrow$ (1)

仮定より，各 $z \in A$ について $\{ f_n (z) \}$ は Cauchy sequence だから， $$\exists f (z) \defeq \lim f_n (z) \in \C.$$

$f_n \unif f$ を示す．$\varepsilon > 0$ を任意に取る．各 $z \in A$ に対して，ある番号 $N \in \Z_{\ge 0}$ が存在して，任意の $p, q \in \Z_{\ge N}$ に対して $$| f_p (z) - f_q (z) | < \frac{\varepsilon}{2}$$ とできる．

$f_q (z) \to f (z)$ as $q \to \infty$ より，$\text{l.h.s.} \to | f_p (z) - f (z) | \le \varepsilon / 2$ を得る．よって $$\| f_n - f \|_\infty \le \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon;$$ hence $f_n \unif f$．

$\sum_{i = 0}^n |f_i (z)| \le \sum_{i = 0}^n c_i$ for each $z \in A$ より，absolute convergence は明らか．

To show the uniform convergence, Theorem 1.5 を使う．

$\varepsilon > 0$ を任意に取り convergent series $\sum c_n$ に Cauchy test を適用すれば，$\exists N \in \Z_{\ge 0}$ such that, for any $p, q \in \Z_{\ge N}$ with $p \le q$, $$\sum_{i = p + 1}^q c_i < \varepsilon$$ が分かる．

このとき， $$\begin{align*} \left\| \sum_{i = p + 1}^q f_i \right\|_\infty &\le \sum_{i = p + 1}^q \| f_i \|_\infty \\ &\le \sum_{i = p + 1}^q c_i \\ &< \varepsilon. \end{align*}$$

よって $\sum f_n$ は uniformly convergent．

$K \defeq \| \{ c_n (z_0 - a)^n \} \|_\infty$ とおく．$z \in \C$ with $|z - a| \ (\defqe r) < |z_0 - a|$ を任意に取る．

このとき， $$\begin{align*} | c_n (z - a)^n | &= \left| c_n (z_0 - a)^n \left( \frac{z - a}{z_0 - a} \right)^n \right| \\ &\le K \left( \frac{r}{|z_0 - a|} \right)^n. \end{align*}$$

今 $\sum K (r / |z_0 - a|)^n$ は convergent だから，Theorem 1.6 より，$\sum c_n (z - a)^n$ は compactly & absolutely convergent on $|z - a| < |z_0 - a|$．

Uniqueness

明らか．

Existence

$\rho \defeq \sup \{ |z - a| \mid \| \{ c_n (z - a)^n \} \|_\infty < \infty \}$ satisfies the requirement を示す．

$\rho = 0, \infty$ のときは明らか．

$\rho \neq 0, \infty$ とする．

もし $|z - a| < \rho$ なら，$\| \{ c_n (z_0 - a)^n \} \|_\infty < \infty$ ($|z - a| < |{}^{\exists} z_0 - a| < \rho$) だから，Theorem 1.8 より，$c$ converges compactly & absolutely．

もし $|z - a| > \rho$ なら，$|c_n (z - a)^n| \to \infty$ as $n \to \infty$.

$r \defeq 1 / \limsup |c_n|^{1 / n}$ とおく．$r$ satisfies the conditions of Theorem 1.9 を示す．

(1)

$|z - a| < r$ とすると，$|z - a| < |{}^{\exists} z_0 - a| < r$ であり，このとき $1 / |z_0 - a| > \limsup |c_n|^{1 / n}$ となる．よって，ある番号 $N \in \Z_{\ge 0}$ が存在して，任意の $n \in \Z_{\ge N}$ に対して， $$|c_n|^{1 / n} < \frac{1}{|z_0 - a|}$$ とできる．

すると $$\begin{align*} |c_n (z - a)^n| &< |c_n (z_0 - a)^n| \\ &< 1; \end{align*}$$ hence $\| \{ c_n (z - a)^n \} \|_\infty < \infty$．よって，Theorem 1.8 より $c$ converges compactly & absolutely．

(2)

$|z - a| > r$ とすると，$|z - a| > |{}^{\exists} z_0 - a| > r$ であり，このとき $1 / |z_0 - a| < \limsup |c_n|^{1 / n}$ となる．よって，任意の $N \in \Z_{\ge 0}$ に対してある番号 $n \in \Z_{\ge N}$ が存在して， $$\frac{1}{|z_0 - a|} < |c_n|^{1 / n}$$ とできる．

すると $$\begin{align*} |c_n (z - a)^n| &> |c_n (z_0 - a)^n| \\ &> 1; \end{align*}$$ hence $c$ diverges.

$\rho' \le \rho$

$r < \rho'$ を任意に取る：$\sum (n + 1) |c_{n + 1}| r^n < \infty$．

このとき $$\begin{align*} \sum_{n \ge 1} |c_n| r^n &\le r \sum_{n \ge 1} n |c_n| r^{n - 1} \\ &< \infty; \end{align*}$$ hence $r \le \rho$．$r$ は任意だから，$\rho' \le \rho$．

$\rho \le \rho'$

$r < \rho$ を任意に取る．$r < {}^{\exists} r_0 < \rho$ を考え， $$K \defeq \sum |c_n| r_0^n < \infty$$ とおく．

$$\begin{align*} n |c_n| r^{n - 1} &= \frac{n |c_n| r_0^n}{r} \left( \frac{r}{r_0} \right)^n \\ &\le \frac{n K}{r} \left( \frac{r}{r_0} \right)^n \end{align*}$$ であり，$\sum (n K / r) (r / r_0)^n$ converges より，so does $\sum (n + 1) |c_{n + 1}| r^n$；hence $r \le \rho'$．$r$ は任意だから，$\rho \le \rho'$．