Appendix V

(1) $⟹$ (2)

任意に $\epsilon >0$ を取る．$f_n\stackrel{\text{unif}}{⟶}f$ とすれば，ある番号 $N\in Z_{⩾0}$ が存在して，任意の $n\in Z_{⩾N}$ に対して $$\parallel f_n-f{\parallel }_{\infty }<\frac{\epsilon }{2}$$ とできる．

このとき，for any $p,q\in Z_{⩾N}$, $$\begin{array}{cc}\parallel f_p-f_q{\parallel }_{\infty }& ⩽\parallel f_p-f{\parallel }_{\infty }+\parallel f-f_q{\parallel }_{\infty }\\ & <\epsilon .\end{array}$$

(2) $⟹$ (1)

仮定より，各 $z\in A$ について $\left\{f_n\right(z\left)\right\}$ は Cauchy sequence だから， $$\exists f\left(z\right):=lim{f}_n\left(z\right)\in C.$$

$f_n\stackrel{\text{unif}}{⟶}f$ を示す．$\epsilon >0$ を任意に取る．各 $z\in A$ に対して，ある番号 $N\in Z_{⩾0}$ が存在して，任意の $p,q\in Z_{⩾N}$ に対して $$|f_p\left(z\right)-f_q\left(z\right)|<\frac{\epsilon }{2}$$ とできる．

$f_q\left(z\right)\to f\left(z\right)$ as $q\to \infty$ より，$\text{l.h.s.}\to |f_p\left(z\right)-f\left(z\right)|⩽\epsilon /2$ を得る．よって $$\parallel f_n-f{\parallel }_{\infty }⩽\frac{\epsilon }{2}<\epsilon ;$$ hence $f_n\stackrel{\text{unif}}{⟶}f$．

${\sum }_{i=0}^n|f_i\left(z\right)|⩽{\sum }_{i=0}^n{c}_i$ for each $z\in A$ より，absolute convergence は明らか．

To show the uniform convergence, Theorem 1.5 を使う．

$\epsilon >0$ を任意に取り convergent series $\sum c_n$ に Cauchy test を適用すれば，$\exists N\in Z_{⩾0}$ such that, for any $p,q\in Z_{⩾N}$ with $p⩽q$, $$\sum _{i=p+1}^q{c}_i<\epsilon$$ が分かる．

このとき， $$\begin{array}{cc}{\Vert \sum _{i=p+1}^q{f}_i\Vert }_{\infty }& ⩽\sum _{i=p+1}^q\parallel f_i{\parallel }_{\infty }\\ & ⩽\sum _{i=p+1}^q{c}_i\\ & <\epsilon .\end{array}$$

よって $\sum f_n$ は uniformly convergent．

$K:=\parallel \left\{c_n\right(z_0-a{)}^n\}{\parallel }_{\infty }$ とおく．$z\in C$ with $|z-a|\left(=:r\right)<|z_0-a|$ を任意に取る．

このとき， $$\begin{array}{cc}|c_n(z-a{)}^n|& =\left|c_n\right(z_0-a{)}^n{\left(\frac{z-a}{z_0-a}\right)}^n|\\ & ⩽K{\left(\frac{r}{|z_0-a|}\right)}^n.\end{array}$$

今 $\sum K(r/|z_0-a|{)}^n$ は convergent だから，Theorem 1.6 より，$\sum c_n(z-a{)}^n$ は compactly & absolutely convergent on $|z-a|<|z_0-a|$．

Uniqueness

明らか．

Existence

$\rho :=sup\{|z-a|\mid \parallel \{c_n(z-a{)}^n\}{\parallel }_{\infty }<\infty \}$ satisfies the requirement を示す．

$\rho =0,\infty$ のときは明らか．

$\rho \ne 0,\infty$ とする．

もし $|z-a|<\rho$ なら，$\parallel \left\{c_n\right(z_0-a{)}^n\}{\parallel }_{\infty }<\infty$ ($|z-a|<|{}^{\exists }{z}_0-a|<\rho$) だから，Theorem 1.8 より，$c$ converges compactly & absolutely．

もし $|z-a|>\rho$ なら，$|c_n(z-a{)}^n|\to \infty$ as $n\to \infty$.

$r:=1/\overline{lim}|c_n{|}^{1/n}$ とおく．$r$ satisfies the conditions of Theorem 1.9 を示す．

(1)

$|z-a|<r$ とすると，$|z-a|<|{}^{\exists }{z}_0-a|<r$ であり，このとき $1/|z_0-a|>\overline{lim}|c_n{|}^{1/n}$ となる．よって，ある番号 $N\in Z_{⩾0}$ が存在して，任意の $n\in Z_{⩾N}$ に対して， $$|c_n{|}^{1/n}<\frac{1}{|z_0-a|}$$ とできる．

すると $$\begin{array}{cc}|c_n(z-a{)}^n|& <|c_n(z_0-a{)}^n|\\ & <1;\end{array}$$ hence $\parallel \left\{c_n\right(z-a{)}^n\}{\parallel }_{\infty }<\infty$．よって，Theorem 1.8 より $c$ converges compactly & absolutely．

(2)

$|z-a|>r$ とすると，$|z-a|>|{}^{\exists }{z}_0-a|>r$ であり，このとき $1/|z_0-a|<\overline{lim}|c_n{|}^{1/n}$ となる．よって，任意の $N\in Z_{⩾0}$ に対してある番号 $n\in Z_{⩾N}$ が存在して， $$\frac{1}{|z_0-a|}<|c_n{|}^{1/n}$$ とできる．

すると $$\begin{array}{cc}|c_n(z-a{)}^n|& >|c_n(z_0-a{)}^n|\\ & >1;\end{array}$$ hence $c$ diverges.

${\rho }^{\prime }⩽\rho$

$r<{\rho }^{\prime }$ を任意に取る：$\sum (n+1)|c_{n+1}|r^n<\infty$．

このとき $$\begin{array}{cc}\sum _{n⩾1}|c_n|r^n& ⩽r\sum _{n⩾1}n|c_n|r^{n-1}\\ & <\infty ;\end{array}$$ hence $r⩽\rho$．$r$ は任意だから，${\rho }^{\prime }⩽\rho$．

$\rho ⩽{\rho }^{\prime }$

$r<\rho$ を任意に取る．$r<{}^{\exists }{r}_0<\rho$ を考え， $$K:=\sum |c_n|r_0^n<\infty$$ とおく．

$$\begin{array}{cc}n|c_n|r^{n-1}& =\frac{n|c_n|r_0^n}{r}{\left(\frac{r}{r_0}\right)}^n\\ & ⩽\frac{nK}{r}{\left(\frac{r}{r_0}\right)}^n\end{array}$$ であり，$\sum \left(nK/r\right)(r/r_0{)}^n$ converges より，so does $\sum (n+1)|c_{n+1}|r^n$；hence $r⩽{\rho }^{\prime }$．$r$ は任意だから，$\rho ⩽{\rho }^{\prime }$．