Appendix V

(1) \(\Longrightarrow\) (2)

任意に \(\varepsilon > 0\) を取る．\(f_n \unif f\) とすれば，ある番号 \(N \in \Z_{\ge 0}\) が存在して，任意の \(n \in \Z_{\ge N}\) に対して \[ \| f_n - f \|_\infty < \frac{\varepsilon}{2} \] とできる．

このとき，for any \(p, q \in \Z_{\ge N}\), \[ \begin{align*} \| f_p - f_q \|_\infty &\le \| f_p - f \|_\infty + \| f - f_q \|_\infty \\ &< \varepsilon. \end{align*} \]

(2) \(\Longrightarrow\) (1)

仮定より，各 \(z \in A\) について \(\{ f_n (z) \}\) は Cauchy sequence だから， \[ \exists f (z) \defeq \lim f_n (z) \in \C. \]

\(f_n \unif f\) を示す．\(\varepsilon > 0\) を任意に取る．各 \(z \in A\) に対して，ある番号 \(N \in \Z_{\ge 0}\) が存在して，任意の \(p, q \in \Z_{\ge N}\) に対して \[ | f_p (z) - f_q (z) | < \frac{\varepsilon}{2} \] とできる．

\(f_q (z) \to f (z)\) as \(q \to \infty\) より，\(\text{l.h.s.} \to | f_p (z) - f (z) | \le \varepsilon / 2\) を得る．よって \[ \| f_n - f \|_\infty \le \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon; \] hence \(f_n \unif f\)．

\(\sum_{i = 0}^n |f_i (z)| \le \sum_{i = 0}^n c_i\) for each \(z \in A\) より，absolute convergence は明らか．

To show the uniform convergence, Theorem 1.5 を使う．

\(\varepsilon > 0\) を任意に取り convergent series \(\sum c_n\) に Cauchy test を適用すれば，\(\exists N \in \Z_{\ge 0}\) such that, for any \(p, q \in \Z_{\ge N}\) with \(p \le q\), \[ \sum_{i = p + 1}^q c_i < \varepsilon \] が分かる．

このとき， \[ \begin{align*} \left\| \sum_{i = p + 1}^q f_i \right\|_\infty &\le \sum_{i = p + 1}^q \| f_i \|_\infty \\ &\le \sum_{i = p + 1}^q c_i \\ &< \varepsilon. \end{align*} \]

よって \(\sum f_n\) は uniformly convergent．

\(K \defeq \| \{ c_n (z_0 - a)^n \} \|_\infty\) とおく．\(z \in \C\) with \(|z - a| \ (\defqe r) < |z_0 - a|\) を任意に取る．

このとき， \[ \begin{align*} | c_n (z - a)^n | &= \left| c_n (z_0 - a)^n \left( \frac{z - a}{z_0 - a} \right)^n \right| \\ &\le K \left( \frac{r}{|z_0 - a|} \right)^n. \end{align*} \]

今 \(\sum K (r / |z_0 - a|)^n\) は convergent だから，Theorem 1.6 より，\(\sum c_n (z - a)^n\) は compactly & absolutely convergent on \(|z - a| < |z_0 - a|\)．

Uniqueness

明らか．

Existence

\(\rho \defeq \sup \{ |z - a| \mid \| \{ c_n (z - a)^n \} \|_\infty < \infty \}\) satisfies the requirement を示す．

\(\rho = 0, \infty\) のときは明らか．

\(\rho \neq 0, \infty\) とする．

もし \(|z - a| < \rho\) なら，\(\| \{ c_n (z_0 - a)^n \} \|_\infty < \infty\) (\(|z - a| < |{}^{\exists} z_0 - a| < \rho\)) だから，Theorem 1.8 より，\(c\) converges compactly & absolutely．

もし \(|z - a| > \rho\) なら，\(|c_n (z - a)^n| \to \infty\) as \(n \to \infty\).

\(r \defeq 1 / \limsup |c_n|^{1 / n}\) とおく．\(r\) satisfies the conditions of Theorem 1.9 を示す．

(1)

\(|z - a| < r\) とすると，\(|z - a| < |{}^{\exists} z_0 - a| < r\) であり，このとき \(1 / |z_0 - a| > \limsup |c_n|^{1 / n}\) となる．よって，ある番号 \(N \in \Z_{\ge 0}\) が存在して，任意の \(n \in \Z_{\ge N}\) に対して， \[ |c_n|^{1 / n} < \frac{1}{|z_0 - a|} \] とできる．

すると \[ \begin{align*} |c_n (z - a)^n| &< |c_n (z_0 - a)^n| \\ &< 1; \end{align*} \] hence \(\| \{ c_n (z - a)^n \} \|_\infty < \infty\)．よって，Theorem 1.8 より \(c\) converges compactly & absolutely．

(2)

\(|z - a| > r\) とすると，\(|z - a| > |{}^{\exists} z_0 - a| > r\) であり，このとき \(1 / |z_0 - a| < \limsup |c_n|^{1 / n}\) となる．よって，任意の \(N \in \Z_{\ge 0}\) に対してある番号 \(n \in \Z_{\ge N}\) が存在して， \[ \frac{1}{|z_0 - a|} < |c_n|^{1 / n} \] とできる．

すると \[ \begin{align*} |c_n (z - a)^n| &> |c_n (z_0 - a)^n| \\ &> 1; \end{align*} \] hence \(c\) diverges.

\(\rho' \le \rho\)

\(r < \rho'\) を任意に取る：\(\sum (n + 1) |c_{n + 1}| r^n < \infty\)．

このとき \[ \begin{align*} \sum_{n \ge 1} |c_n| r^n &\le r \sum_{n \ge 1} n |c_n| r^{n - 1} \\ &< \infty; \end{align*} \] hence \(r \le \rho\)．\(r\) は任意だから，\(\rho' \le \rho\)．

\(\rho \le \rho'\)

\(r < \rho\) を任意に取る．\(r < {}^{\exists} r_0 < \rho\) を考え， \[ K \defeq \sum |c_n| r_0^n < \infty \] とおく．

\[ \begin{align*} n |c_n| r^{n - 1} &= \frac{n |c_n| r_0^n}{r} \left( \frac{r}{r_0} \right)^n \\ &\le \frac{n K}{r} \left( \frac{r}{r_0} \right)^n \end{align*} \] であり，\(\sum (n K / r) (r / r_0)^n\) converges より，so does \(\sum (n + 1) |c_{n + 1}| r^n\)；hence \(r \le \rho'\)．\(r\) は任意だから，\(\rho \le \rho'\)．