Chapter 1

$a = 0$ としてよい．

$f ' (z) = \sum (n + 1) c_{n + 1} z^n$ を示せば，Proposition 1.10 より，$f$ が $\C$-$C^1$ であることが分かる．

$z_0 \in \Delta_\rho (0)$ と $|z_0| < {}^{\exists} r < \rho$ を任意に取り，$\varepsilon \defeq r - |z_0|$ とおく．

このとき， $$|z - z_0| \le \varepsilon \Longrightarrow |z| \le r < \rho$$ であるから， $$\left| c_n \sum_{i = 0}^{n - 1} z^i z_0^{n - i} \right| \le n |c_n| r^{n - 1}$$ となる．Theorem 1.12 より，$\rho =$ radius of convergence of $\sum (n + 1) c_{n + 1} z^n \in \C \llbracket z \rrbracket$ であるから，power series $\sum c_n \sum_{i = 0}^{n - 1} z^i z_0^{n - i} \in \C \llbracket z \rrbracket$ は nomally convergent on $|z - z_0| \le \varepsilon$．

よって， $$\begin{alignat*}{0} \delta_f \colon &\bar{\Delta_{\varepsilon} (z_0)} &&\longrightarrow && \C\\ &\style{transform: rotate(270deg)}{\in} && &&\style{transform: rotate(270deg)}{\in} \\ &z &&\longmapsto &&\sum_{n = 0}^\infty c_n \sum_{i = 0}^{n - 1} z^i z_0^{n - i} \end{alignat*}$$ は continuous．

一方， $$\begin{align*} f (z) - f (z_0) &= \sum c_n (z^n - z_0^n) \\ &= \delta_f (z) (z - z_0) \end{align*}$$ であるから，$f' (z_0) = \delta_f (z_0) = \sum (n + 1) c_{n + 1} z_0^n$．

Uniqueness

$f (z) = \sum c_n (z - a)^n$ と書けたとすると，Theorem 2.1 を繰り返し用いて， $$f^{(n)} (a) = c_n n !$$ を得る．

Existence

$z \in \Delta_r (a)$ を取り，$r' \defeq |z - a|$ とおく．

任意の $\zeta \in \Delta_r (a)$ with $|\zeta - a| \ (\defqe r'') > r'$ に対して， $$\begin{align*} \left| \frac{f (\zeta)}{(\zeta - a)^{n + 1}} (z - a)^n \right| &\le \frac{M}{r''} \left( \frac{r'}{r''} \right)^n \end{align*}$$ とできる．ただし， $$M \defeq \sup_{|\zeta - a| = r''} | f (\zeta) |.$$ よって，series $\sum f (\zeta) (z - a)^n / (\zeta - a)^{n + 1} \in \C \llbracket (\zeta - a)^{-1} \rrbracket$ は normally convergent on $|\zeta - a| = r''$．

さらに， $$\begin{align*} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} &= \frac{f (\zeta)}{\zeta - a} \left( 1 - \frac{z - a}{\zeta - a} \right)^{-1} \\ &= \sum \frac{f (\zeta)}{(\zeta - a)^{n + 1}} (z - a)^n \end{align*}$$ であるから，Theorem 1.6 と Theorem 1.1 (2) より， $$\begin{align*} \int_{|\zeta - a| = r''} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} \, \d \zeta &= c'_n (z - a)^n. \end{align*}$$ ただし， $$c'_n \defeq \int_{|\zeta - a| = r''} \frac{f (\zeta)}{(\zeta - a)^{n + 1}} \, \d \zeta.$$

一方，Cauchy’s integral formula より， $$f (z) = \frac{1}{2 \pi \i} \int_{|\zeta - a| = r''} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} \, \d z$$ であるから，$c_n \defeq c'_n / 2 \pi \i$ とおけば， $$f (z) = \sum c_n (z - a)^n$$ となる．

Cauchy’s integral theorem より，$c_n$ は independent of $r'$ & $r''$ が分かるから，$\sum c_n (z - a)^n \in \C \llbracket z - a \rrbracket$ が求める power series である．

Theorem 2.3 と Corollary 2.2 より，$f$ が $\C$-$C^\infty$ であることは従う．

$f^{(n)}$ の表式は，Theorem 2.3 の証明から分かる．

今までの theorems / corollaries から明らか．