Chapter 1

§1.3

Theorem 2.1

c:=cn(za)nC[[za]], ρ:= radius of convergence of c. f:Δρ(a)Czcn(za)n とおく.ただし, Δρ(a)={z|za|<ρ}.

Then,

  • f は holomorphic (i.e., C-C1) on |za|<ρ で,its derivative は f(z)=(n+1)cn+1(za)n

a=0 としてよい.

f(z)=(n+1)cn+1zn を示せば,Proposition 1.10 より,fC-C1 であることが分かる.

z0Δρ(0)|z0|<r<ρ を任意に取り,ε:=r|z0| とおく.

このとき, |zz0|ε|z|r<ρ であるから, |cnn1i=0zizni0|n|cn|rn1 となる.Theorem 1.12 より,ρ= radius of convergence of (n+1)cn+1znC[[z]] であるから,power series cnn1i=0zizni0C[[z]] は nomally convergent on |zz0|ε

よって, δf:¯Δε(z0)Czn=0cnn1i=0zizni0 は continuous.

一方, f(z)f(z0)=cn(znzn0)=δf(z)(zz0) であるから,f(z0)=δf(z0)=(n+1)cn+1zn0

Corollary 2.2

c:=cn(za)nC[[za]], ρ:= radius of convergence of c. f:Δρ(a)Czcn(za)n とおく.

Then,

  • fC-C on |za|<ρ

Theorem 2.1Theorem 1.12 より,明らか.

Theorem 2.3

DC be a domain, f:DC a holomorphic function, Δr(a)D an open disk of radius r at the center aD.

  • !c=cn(za)nC[[za]] such that
    • radius of convergence of c r;
    • f(z)=cn(za)n for any zΔr(a).

Uniqueness

f(z)=cn(za)n と書けたとすると,Theorem 2.1 を繰り返し用いて, f(n)(a)=cnn! を得る.

Existence

zΔr(a) を取り,r:=|za| とおく.

任意の ζΔr(a) with |ζa| (=:r)>r に対して, |f(ζ)(ζa)n+1(za)n|Mr(rr)n とできる.ただし, M:=sup よって,series \sum f (\zeta) (z - a)^n / (\zeta - a)^{n + 1} \in \C \llbracket (\zeta - a)^{-1} \rrbracket は normally convergent on |\zeta - a| = r''

さらに, \begin{align*} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} &= \frac{f (\zeta)}{\zeta - a} \left( 1 - \frac{z - a}{\zeta - a} \right)^{-1} \\ &= \sum \frac{f (\zeta)}{(\zeta - a)^{n + 1}} (z - a)^n \end{align*} であるから,Theorem 1.6Theorem 1.1 (2) より, \begin{align*} \int_{|\zeta - a| = r''} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} \, \d \zeta &= c'_n (z - a)^n. \end{align*} ただし, c'_n \defeq \int_{|\zeta - a| = r''} \frac{f (\zeta)}{(\zeta - a)^{n + 1}} \, \d \zeta.

一方,Cauchy’s integral formula より, f (z) = \frac{1}{2 \pi \i} \int_{|\zeta - a| = r''} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} \, \d z であるから,c_n \defeq c'_n / 2 \pi \i とおけば, f (z) = \sum c_n (z - a)^n となる.

Cauchy’s integral theorem より,c_n は independent of r' & r'' が分かるから,\sum c_n (z - a)^n \in \C \llbracket z - a \rrbracket が求める power series である.

Theorem 2.4

D \subset \C be a domain, f \colon D \to \C a holomorphic function, \Delta_r (a) \subset \bar{\Delta_r (a)} \subset D.

  • f\C-C^\infty;
  • For any z \in \Delta_r (a), f^{(n)} (z) = \frac{n !}{2 \pi \i} \int_{|\zeta - a| = r} \frac{f (\zeta)}{(\zeta - z)^{n + 1}} \, \d \zeta.

Theorem 2.3Corollary 2.2 より,f\C-C^\infty であることは従う.

f^{(n)} の表式は,Theorem 2.3 の証明から分かる.

Theorem 2.5

D \subset \C be a domain, f \colon D \to \C: continuous.

TFAE:

  1. f は holomorphic;
  2. fC^1 on D で,satisfies the Cauchy-Riemann eq. (\partial f / \partial \bar{z} = 0);
  3. 任意の simply connected domain \Delta \subset D と closed (piecewise) regular curve \gamma \colon [0, 1] \to \Delta に対して, \int_\gamma f (z) \, \d z = 0;
  4. 任意の simply connected domain \Delta \subset D に対して,\exists holomorphic F \colon \Delta \to \C such that F' = f;
  5. 任意の open disk \Delta \subset \bar\Delta \subset Dz \in \Delta に対して, f (z) = \frac{1}{2 \pi \i} \int_{\partial \Delta} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} \, \d \zeta;
  6. 任意の open disk a \in \Delta \subset D に対して,\exists \sum c_n (z - a)^n \in \C \llbracket z - a \rrbracket such that f (z) = \sum c_n (z - a)^n on z \in \Delta.

今までの theorems / corollaries から明らか.