Chapter 1

a=0 としてよい．

f′(z)=∑(n+1)cn+1zn を示せば，Proposition 1.10 より，f が C-C1 であることが分かる．

z0∈Δρ(0) と |z0|<∃r<ρ を任意に取り，ε:=r−|z0| とおく．

このとき， |z−z0|⩽ε⟹|z|⩽r<ρ であるから， |cnn−1∑i=0zizn−i0|⩽n|cn|rn−1 となる．Theorem 1.12 より，ρ= radius of convergence of ∑(n+1)cn+1zn∈C[[z]] であるから，power series ∑cn∑n−1i=0zizn−i0∈C[[z]] は nomally convergent on |z−z0|⩽ε．

よって， δf:¯Δε(z0)⟶C∈∈z⟼∞∑n=0cnn−1∑i=0zizn−i0 は continuous．

一方， f(z)−f(z0)=∑cn(zn−zn0)=δf(z)(z−z0) であるから，f′(z0)=δf(z0)=∑(n+1)cn+1zn0．

Uniqueness

f(z)=∑cn(z−a)n と書けたとすると，Theorem 2.1 を繰り返し用いて， f(n)(a)=cnn! を得る．

Existence

z∈Δr(a) を取り，r′:=|z−a| とおく．

任意の ζ∈Δr(a) with |ζ−a| (=:r″)>r′ に対して， |f(ζ)(ζ−a)n+1(z−a)n|⩽Mr″(r′r″)n とできる．ただし， M:=sup よって，series \sum f (\zeta) (z - a)^n / (\zeta - a)^{n + 1} \in \C \llbracket (\zeta - a)^{-1} \rrbracket は normally convergent on |\zeta - a| = r''．

さらに， \begin{align*} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} &= \frac{f (\zeta)}{\zeta - a} \left( 1 - \frac{z - a}{\zeta - a} \right)^{-1} \\ &= \sum \frac{f (\zeta)}{(\zeta - a)^{n + 1}} (z - a)^n \end{align*} であるから，Theorem 1.6 と Theorem 1.1 (2) より， \begin{align*} \int_{|\zeta - a| = r''} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} \, \d \zeta &= c'_n (z - a)^n. \end{align*} ただし， c'_n \defeq \int_{|\zeta - a| = r''} \frac{f (\zeta)}{(\zeta - a)^{n + 1}} \, \d \zeta.

一方，Cauchy’s integral formula より， f (z) = \frac{1}{2 \pi \i} \int_{|\zeta - a| = r''} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} \, \d z であるから，c_n \defeq c'_n / 2 \pi \i とおけば， f (z) = \sum c_n (z - a)^n となる．

Cauchy’s integral theorem より，c_n は independent of r' & r'' が分かるから，\sum c_n (z - a)^n \in \C \llbracket z - a \rrbracket が求める power series である．

Theorem 2.3 と Corollary 2.2 より，f が \C-C^\infty であることは従う．

f^{(n)} の表式は，Theorem 2.3 の証明から分かる．

今までの theorems / corollaries から明らか．