Chapter 1
§1.3
Theorem 2.1
c:=∑cn(z−a)n∈C[[z−a]], ρ:= radius of convergence of c. f:Δρ(a)⟶C∈∈z⟼∑cn(z−a)n とおく.ただし, Δρ(a)={z∣|z−a|<ρ}.
Then,
- f は holomorphic (i.e., C-C1) on |z−a|<ρ で,its derivative は f′(z)=∑(n+1)cn+1(z−a)n.
a=0 としてよい.
f′(z)=∑(n+1)cn+1zn を示せば,Proposition 1.10 より,f が C-C1 であることが分かる.
z0∈Δρ(0) と |z0|<∃r<ρ を任意に取り,ε:=r−|z0| とおく.
このとき, |z−z0|⩽ε⟹|z|⩽r<ρ であるから, |cnn−1∑i=0zizn−i0|⩽n|cn|rn−1 となる.Theorem 1.12 より,ρ= radius of convergence of ∑(n+1)cn+1zn∈C[[z]] であるから,power series ∑cn∑n−1i=0zizn−i0∈C[[z]] は nomally convergent on |z−z0|⩽ε.
よって, δf:¯Δε(z0)⟶C∈∈z⟼∞∑n=0cnn−1∑i=0zizn−i0 は continuous.
一方, f(z)−f(z0)=∑cn(zn−zn0)=δf(z)(z−z0) であるから,f′(z0)=δf(z0)=∑(n+1)cn+1zn0.
Corollary 2.2
c:=∑cn(z−a)n∈C[[z−a]], ρ:= radius of convergence of c. f:Δρ(a)⟶C∈∈z⟼∑cn(z−a)n とおく.
Then,
- f は C-C∞ on |z−a|<ρ.
Theorem 2.1 と Theorem 1.12 より,明らか.
Theorem 2.3
D⊂C be a domain, f:D→C a holomorphic function, Δr(a)⊂D an open disk of radius r at the center a∈D.
- ∃!c=∑cn(z−a)n∈C[[z−a]] such that
- radius of convergence of c ⩾r;
- f(z)=∑cn(z−a)n for any z∈Δr(a).
Uniqueness
f(z)=∑cn(z−a)n と書けたとすると,Theorem 2.1 を繰り返し用いて, f(n)(a)=cnn! を得る.
Existence
z∈Δr(a) を取り,r′:=|z−a| とおく.
任意の ζ∈Δr(a) with |ζ−a| (=:r″)>r′ に対して, |f(ζ)(ζ−a)n+1(z−a)n|⩽Mr″(r′r″)n とできる.ただし, M:=sup よって,series \sum f (\zeta) (z - a)^n / (\zeta - a)^{n + 1} \in \C \llbracket (\zeta - a)^{-1} \rrbracket は normally convergent on |\zeta - a| = r''.
さらに, \begin{align*} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} &= \frac{f (\zeta)}{\zeta - a} \left( 1 - \frac{z - a}{\zeta - a} \right)^{-1} \\ &= \sum \frac{f (\zeta)}{(\zeta - a)^{n + 1}} (z - a)^n \end{align*} であるから,Theorem 1.6 と Theorem 1.1 (2) より, \begin{align*} \int_{|\zeta - a| = r''} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} \, \d \zeta &= c'_n (z - a)^n. \end{align*} ただし, c'_n \defeq \int_{|\zeta - a| = r''} \frac{f (\zeta)}{(\zeta - a)^{n + 1}} \, \d \zeta.
一方,Cauchy’s integral formula より, f (z) = \frac{1}{2 \pi \i} \int_{|\zeta - a| = r''} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} \, \d z であるから,c_n \defeq c'_n / 2 \pi \i とおけば, f (z) = \sum c_n (z - a)^n となる.
Cauchy’s integral theorem より,c_n は independent of r' & r'' が分かるから,\sum c_n (z - a)^n \in \C \llbracket z - a \rrbracket が求める power series である.
Theorem 2.4
D \subset \C be a domain, f \colon D \to \C a holomorphic function, \Delta_r (a) \subset \bar{\Delta_r (a)} \subset D.
- f は \C-C^\infty;
- For any z \in \Delta_r (a), f^{(n)} (z) = \frac{n !}{2 \pi \i} \int_{|\zeta - a| = r} \frac{f (\zeta)}{(\zeta - z)^{n + 1}} \, \d \zeta.
Theorem 2.3 と Corollary 2.2 より,f が \C-C^\infty であることは従う.
f^{(n)} の表式は,Theorem 2.3 の証明から分かる.
Theorem 2.5
D \subset \C be a domain, f \colon D \to \C: continuous.
TFAE:
- f は holomorphic;
- f は C^1 on D で,satisfies the Cauchy-Riemann eq. (\partial f / \partial \bar{z} = 0);
- 任意の simply connected domain \Delta \subset D と closed (piecewise) regular curve \gamma \colon [0, 1] \to \Delta に対して, \int_\gamma f (z) \, \d z = 0;
- 任意の simply connected domain \Delta \subset D に対して,\exists holomorphic F \colon \Delta \to \C such that F' = f;
- 任意の open disk \Delta \subset \bar\Delta \subset D と z \in \Delta に対して, f (z) = \frac{1}{2 \pi \i} \int_{\partial \Delta} \frac{f (\zeta)}{\zeta - z} \, \d \zeta;
- 任意の open disk a \in \Delta \subset D に対して,\exists \sum c_n (z - a)^n \in \C \llbracket z - a \rrbracket such that f (z) = \sum c_n (z - a)^n on z \in \Delta.
今までの theorems / corollaries から明らか.