Chapter 1

§1.3

Theorem 2.1

Statement
Proof

$c := \sum c_{n} (z - a)^{n} \in C [[z - a]]$ , $ρ :=$ radius of convergence of $c$ . $\begin{matrix} f : & Δ_{ρ} (a) & ⟶ & C \\ \in & \in \\ z & ⟼ & \sum c_{n} (z - a)^{n} \end{matrix}$ とおく．ただし， $Δ_{ρ} (a) = {z ∣ | z - a | < ρ} .$

Then,

$f$ は holomorphic (i.e., $C$ - $C^{1}$ ) on $| z - a | < ρ$ で，its derivative は $f^{'} (z) = \sum (n + 1) c_{n + 1} (z - a)^{n}$ ．

$a = 0$ としてよい．

$f^{'} (z) = \sum (n + 1) c_{n + 1} z^{n}$ を示せば，Proposition 1.10 より， $f$ が $C$ - $C^{1}$ であることが分かる．

$z_{0} \in Δ_{ρ} (0)$ と $| z_{0} | <^{\exists} r < ρ$ を任意に取り， $ε := r - | z_{0} |$ とおく．

このとき， $| z - z_{0} | ⩽ ε ⟹ | z | ⩽ r < ρ$ であるから， $| c_{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} z^{i} z_{0}^{n - i} | ⩽ n | c_{n} | r^{n - 1}$ となる．Theorem 1.12 より， $ρ =$ radius of convergence of $\sum (n + 1) c_{n + 1} z^{n} \in C [[z]]$ であるから，power series $\sum c_{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} z^{i} z_{0}^{n - i} \in C [[z]]$ は nomally convergent on $| z - z_{0} | ⩽ ε$ ．

よって， $\begin{matrix} δ_{f} : & \bar{Δ_{ε} (z_{0})} & ⟶ & C \\ \in & \in \\ z & ⟼ & \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} z^{i} z_{0}^{n - i} \end{matrix}$ は continuous．

一方， $\begin{aligned} f (z) - f (z_{0}) & = \sum c_{n} (z^{n} - z_{0}^{n}) \\ = δ_{f} (z) (z - z_{0}) \end{aligned}$ であるから， $f^{'} (z_{0}) = δ_{f} (z_{0}) = \sum (n + 1) c_{n + 1} z_{0}^{n}$ ．

Corollary 2.2

Statement
Proof

$c := \sum c_{n} (z - a)^{n} \in C [[z - a]]$ , $ρ :=$ radius of convergence of $c$ . $\begin{matrix} f : & Δ_{ρ} (a) & ⟶ & C \\ \in & \in \\ z & ⟼ & \sum c_{n} (z - a)^{n} \end{matrix}$ とおく．

Then,

$f$ は $C$ - $C^{\infty}$ on $| z - a | < ρ$ ．

Theorem 2.1 と Theorem 1.12 より，明らか．

Theorem 2.3

Statement
Proof

$D \subset C$ be a domain, $f : D \to C$ a holomorphic function, $Δ_{r} (a) \subset D$ an open disk of radius $r$ at the center $a \in D$ .

$\exists! c = \sum c_{n} (z - a)^{n} \in C [[z - a]]$ such that
- radius of convergence of $c$ $⩾ r$ ;
- $f (z) = \sum c_{n} (z - a)^{n}$ for any $z \in Δ_{r} (a)$ .

Uniqueness

$f (z) = \sum c_{n} (z - a)^{n}$ と書けたとすると，Theorem 2.1 を繰り返し用いて， $f^{(n)} (a) = c_{n} n!$ を得る．

Existence

$z \in Δ_{r} (a)$ を取り， $r^{'} := | z - a |$ とおく．

任意の $ζ \in Δ_{r} (a)$ with $| ζ - a | (=: r^{″}) > r^{'}$ に対して， $\begin{aligned} | \frac{f (ζ)}{(ζ - a)^{n + 1}} (z - a)^{n} | & ⩽ \frac{M}{r^{″}} {(\frac{r^{'}}{r^{″}})}^{n} \end{aligned}$ とできる．ただし， $M := sup_{| ζ - a | = r^{″}} | f (ζ) | .$ よって，series $\sum f (ζ) (z - a)^{n} / (ζ - a)^{n + 1} \in C [[(ζ - a)^{- 1}]]$ は normally convergent on $| ζ - a | = r^{″}$ ．

さらに， $\begin{aligned} \frac{f (ζ)}{ζ - z} & = \frac{f (ζ)}{ζ - a} {(1 - \frac{z - a}{ζ - a})}^{- 1} \\ = \sum \frac{f (ζ)}{(ζ - a)^{n + 1}} (z - a)^{n} \end{aligned}$ であるから，Theorem 1.6 と Theorem 1.1 (2) より， $\begin{aligned} \int_{| ζ - a | = r^{″}} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ & = c_{n}^{'} (z - a)^{n} . \end{aligned}$ ただし， $c_{n}^{'} := \int_{| ζ - a | = r^{″}} \frac{f (ζ)}{(ζ - a)^{n + 1}} d ζ .$

一方，Cauchy’s integral formula より， $f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{| ζ - a | = r^{″}} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d z$ であるから， $c_{n} := c_{n}^{'} / 2 π i$ とおけば， $f (z) = \sum c_{n} (z - a)^{n}$ となる．

Cauchy’s integral theorem より， $c_{n}$ は independent of $r^{'}$ & $r^{″}$ が分かるから， $\sum c_{n} (z - a)^{n} \in C [[z - a]]$ が求める power series である．

Theorem 2.4

Statement
Proof

$D \subset C$ be a domain, $f : D \to C$ a holomorphic function, $Δ_{r} (a) \subset \bar{Δ_{r} (a)} \subset D$ .

$f$ は $C$ - $C^{\infty}$ ;
For any $z \in Δ_{r} (a)$ , $f^{(n)} (z) = \frac{n!}{2 π i} \int_{| ζ - a | = r} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ .$

Theorem 2.3 と Corollary 2.2 より， $f$ が $C$ - $C^{\infty}$ であることは従う．

$f^{(n)}$ の表式は，Theorem 2.3 の証明から分かる．

Theorem 2.5

Statement
Proof

$D \subset C$ be a domain, $f : D \to C$ : continuous.

TFAE:

$f$ は holomorphic;
$f$ は $C^{1}$ on $D$ で，satisfies the Cauchy-Riemann eq. ( $\partial f / \partial \bar{z} = 0$ );
任意の simply connected domain $Δ \subset D$ と closed (piecewise) regular curve $γ : [0, 1] \to Δ$ に対して， $\int_{γ} f (z) d z = 0;$
任意の simply connected domain $Δ \subset D$ に対して， $\exists$ holomorphic $F : Δ \to C$ such that $F^{'} = f$ ;
任意の open disk $Δ \subset \bar{Δ} \subset D$ と $z \in Δ$ に対して， $f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{\partial Δ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ;$
任意の open disk $a \in Δ \subset D$ に対して， $\exists \sum c_{n} (z - a)^{n} \in C [[z - a]]$ such that $f (z) = \sum c_{n} (z - a)^{n}$ on $z \in Δ$ .

今までの theorems / corollaries から明らか．